Lămâie (geometrie)

În geometrie o lămâie este o formă geometrică care este construită prin suprafața de revoluție a unui arc de cerc de unghi mai mic decât jumătate dintr-un cerc complet, rotit în jurul unei axe care trece prin punctele de capăt ale arcului. Suprafața de revoluție a arcului complementar al aceluiași cerc, prin aceeași axă, se numește măr.

Jumătate dintr-un tor care se autointersectează

Mărul și lămâia formează împreună un tor autointersectat. Lămâia formează o mulțime convexă, în timp ce mărul din jur este neconvex.

Minge de fotbal american

Mingea din fotbalul american are o formă asemănătoare unei lămâi geometrice.

Arie și volum

Lămâia este generată prin rotirea unui arc de rază $R$ și jumătate de unghi $\phi _{m},$ mai mic decât $\pi /2,$ în jurul coardei sale. $\phi$ este latitudinea, așa cum este folosită în geofizică. Aria sa este dată de

$A=2\pi R^{2}\int _{-\phi _{m}}^{\phi _{m}}(\cos \phi -\cos \phi _{m})d\phi$

Volumul său este dat de

$V=\pi R^{3}\int _{-\phi _{m}}^{\phi _{m}}(\cos \phi -\cos \phi _{m})^{2}\cos \phi d\phi$

Aceste integrale pot fi calculate analitic, obținându-se

$A=4\pi R^{2}(\sin \phi _{m}-\phi _{m}\cos \phi _{m})$

$V={\tfrac {4}{3}}\pi R^{3}\left[\sin ^{3}\phi _{m}-{\tfrac {3}{4}}\cos \phi _{m}(2\phi _{m}-\sin 2\phi _{m})\right]$

Mărul este generat prin rotația unui arc a cărei jumătăți de unghi, $\phi _{m},$ este mai mare decât $\pi /2$ în jurul coardei sale. Ecuațiile de mai sus sunt valabile atât pentru lămâie, cât și pentru măr.

Legături externe

• en Eric W. Weisstein, Lemon Surface la MathWorld.

• en Football shaped (spindle type) surface of positive constant curvature in the University of Groningen model collection